Таким образом можно скачивать и аудио файлы, статью можно было бы назвать "скачивание медиа файлов", но народ в основном качает видео :)
На странице с видео, не запуская видео плеер(!), кликаете правой клавишей мыши по свободному месту на странице, выбираете "просмотр кода элемента" в контекстном меню. Можно использовать и горячие клавиши - Ctrl+Shift+I.
Как откроется окно "инструментов разработчика", переходите на вкладку Network. Затем запускаете видео и ищете свой видео файл. Можно сразу отфильтровать ненужное, для этого надо нажать на значок "clear" внизу (на скрине он обозначен).
Найдя свой файл, кликните по нему.Откроется рубрика "headers" с данными о файле. Там будет и ссылка - "Request URL". Ссылку надо скопировать и вставить(и перейти) в адресную строку. Когда страница начнет грузиться, то останется только в меню гаечного ключа выбрать "Сохранить страницу как..." или Ctrl+S.
 Если долго не всплывает окно диалога загрузки, то загрузку на странице надо остановить, достаточно нажать на кнопку стоп (Х) на тулбаре.
Частая ошибка - сначала запускают видео, а потом открывают "инструменты разработчика". Файл тогда не отображается, надо перезагрузить страницу с уже открытым "инструментом разработчика".
На youtube есть небольшие различия. Видео файл там не имеет расширения и называется "videoplayback".После закачки его можно переименовать и присвоить расширение.flv для флеша, webm для HTML5, mp4 для H.264.
 Во-вторых, видео плеер запускается автоматически и из-за этого в Network файл не отображается. Поэтому надо перезагрузить страницу с уже открытым "инструментом разработчика".
Можно совместно с Хромом использовать Download Master.Копировать ссылку и передавать на закачку в DM. В несколько потоков скачивается гораздо быстрее.
(на youtube не работает, там можно скачивать только самим Хромом)
Способ удобен тем, что позволяет скачивать видео файлы с любых сайтов и не имеет значения на каком хостинге они их держат.
Несмотря на нудное описание, сам процесс занимает 20-25 секунд :)
И другой, более простой способ.
Запускаете видео и в новой вкладке открываете about:cache или chrome://view-http-cache/
На самом верху списка будет ссылка на видео. Выделяете и копируете ее и вперед, можно скачивать видео.
И уже есть универсальное расширение Download It для скачивания медиафайлов. Хоть пока и не без недостатков. | 
